2019年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學

注意事項：

1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合，則=

A． B． C． D．

2．設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則

A． B． C． D．

3．已知，則

A． B． C． D．

4．古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是

 

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

5．函數f(x)=在的圖像大致為

A． B．

C． D．

6．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

 

A． B．  C．  D． 

7．已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為

A．  B． C．  D． 

8．如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應填入

 

A．A= B．A= C．A= D．A=

9．記為等差數列的前n項和．已知，則

A． B． C． D．

10．已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點．若，，則C的方程為

A． B． C． D．

11．關于函數有下述四個結論：

①f(x)是偶函數 ②f(x)在區間（，）單調遞增

③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2

其中所有正確結論的編號是

A．①②④  B．②④ C．①④ D．①③

12．已知三棱錐P?ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

A． B．   C． D．

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．曲線在點處的切線方程為____________．

14．記Sn為等比數列{an}的前n項和．若，則S5=____________．

15．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）．根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．

16．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。

（一）必考題：共60分。

17．(12分)

的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

18．（12分）

如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．

 

 

（1）證明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A?MA1?N的正弦值．

19．（12分）

已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

20．（12分）

已知函數，為的導數．證明：

（1）在區間存在唯一極大值點；

（2）有且僅有2個零點．

21．（12分）

為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．

（1）求的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設，．

(i)證明：為等比數列；

(ii)求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性．

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）

在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為參數）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）求C上的點到l距離的最小值．

23．[選修4—5：不等式選講]（10分）

已知a，b，c為正數，且滿足abc=1．證明：

（1）；

（2）．

 

 

 

 

 

2019年普通高等學校招生全國統一考試

理科數學?參考答案

一、選擇題

1．C　2．C　3．B　4．B　5．D　6．A　7．B　8．A　9．A　10．B　11．C　12．D　

二、填空題

13．y=3x 14． 15．0.18 16．2

三、解答題

17．解：（1）由已知得，故由正弦定理得．

由余弦定理得．

因為，所以．

（2）由（1）知，由題設及正弦定理得，

即，可得．

由于，所以，故

 

 

．

18．解：（1）連結B1C，ME．

因為M，E分別為BB1，BC的中點，

所以ME∥B1C，且ME=B1C．

又因為N為A1D的中點，所以ND=A1D．

由題設知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED．

又MN平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．

（2）由已知可得DE⊥DA．

以D為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D?xyz，則

 

，A1(2，0，4)，，，，，，．

設為平面A1MA的法向量，則，

所以可取．

設為平面A1MN的法向量，則

所以可取．

于是，

所以二面角的正弦值為．

19．解：設直線．

（1）由題設得，故，由題設可得．

由，可得，則．

從而，得．

所以的方程為．

（2）由可得．

由，可得．

所以．從而，故．

代入的方程得．

故．

20．解：（1）設，則，.

當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，

設為.

則當時，；當時，.

所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.

（2）的定義域為.

（i）當時，由（1）知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.

（ii）當時，由（1）知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.

又，，所以當時，.從而， 在沒有零點.

（iii）當時，，所以在單調遞減.而，，所以在有唯一零點.

（iv）當時，，所以<0，從而在沒有零點.

綜上，有且僅有2個零點.

21．解：X的所有可能取值為.

 

所以的分布列為

 

（2）（i）由（1）得.

因此，故，即

.

又因為，所以為公比為4，首項為的等比數列．

（ii）由（i）可得

.

由于，故，所以

 

表示最終認為甲藥更有效的概率，由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.

22．解：（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為.

的直角坐標方程為.

（2）由（1）可設C的參數方程為（為參數，）.

C上的點到的距離為.

當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為.

23．解：（1）因為，又，故有

.

所以.

（2）因為為正數且，故有

 

 

 

=24.

所以.